MATEMÁTICA
PROFESSOR WALTER PESSOA
💬 Prof. Walter diz: "Seja bem-vindo(a)! Navegue pelas abas abaixo, explore o simulador da reta com sliders e teste seu raciocínio nas aplicações práticas!"
Progresso Geral:
0%

📖 Teoria Completa da Função Afim

A função afim (função polinomial do 1º grau) expressa toda dependência linear entre duas grandezas.

Definição e Lei de Formação
f(x) = ax + b
Com a, b ∈ ℝ e condição de existência para grau 1: a ≠ 0.

1. Significado dos Coeficientes

Coeficiente Angular (a)

Taxa de variação média ou declividade da reta: a = Δy / Δx.

• Mede quanto y varia para cada 1 unidade que x avança.
• Define o ângulo com o eixo horizontal: tan(θ) = a.

Coeficiente Linear (b)

Valor fixo inicial e ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo vertical y.

• Ponto exato no plano: (0, b).
• Quando b = 0, a reta passa pela origem (0, 0) — chamada de função linear.

Interpretação Prática

Total = (Taxa Variável × Quantidade) + Custo Fixo.

• Aplicável em custos fabris, contas de consumo, física e tabelas salariais.

2. Classificação: Crescente, Decrescente e Constante

Crescente

a > 0

Quando x aumenta, f(x) também aumenta. A reta sobe da esquerda para a direita.

Exemplo: f(x) = 2x + 1
f(1) = 3 e f(2) = 5 (subiu!)

Decrescente

a < 0

Quando x aumenta, f(x) diminui. A reta desce da esquerda para a direita.

Exemplo: f(x) = -3x + 12
f(1) = 9 e f(2) = 6 (desceu!)

Constante

a = 0

Reta perfeitamente horizontal. O valor de f(x) nunca varia, sempre igual a b.

Exemplo: f(x) = 5
f(1) = 5 e f(100) = 5

3. Raiz ou Zero da Função (x = -b/a)

É a coordenada x onde f(x) = 0. Graficamente, representa o ponto exato onde a reta cruza o eixo horizontal x: o ponto (-b/a, 0).

ax + b = 0  ⟹  ax = -b  ⟹  x = -b / a

✏️ Exercícios Práticos — Raiz da Função

Exercício 1: Encontre a raiz da função afim f(x) = 2x - 8.
Resolução: Para encontrar a raiz igualamos f(x) a zero: 2x - 8 = 0 ⟹ 2x = 8 ⟹ x = 8 / 2 = 4. Ponto de corte: (4, 0).
Exercício 2: Qual é a raiz da função f(x) = -5x + 35 e em qual ponto cartesiano ela intercepta o eixo x?
Resolução: Fazemos -5x + 35 = 0 ⟹ 5x = 35 ⟹ x = 35 / 5 = 7. O corte no eixo horizontal é o par ordenado (7, 0).
Exercício 3: Dada a função afim f(x) = 3x + 15, a raiz dessa função é:
Resolução: 3x + 15 = 0 ⟹ 3x = -15 ⟹ x = -15 / 3 = -5. Ponto de corte com o eixo x: (-5, 0).

4. Estudo do Sinal de f(x)

Reta Crescente (a > 0)

Antes da raiz a função é negativa; depois da raiz é positiva:

• Se x < -b/a ⟹ f(x) < 0 (negativo ➖)
• Se x = -b/a ⟹ f(x) = 0 (raiz ⭕)
• Se x > -b/a ⟹ f(x) > 0 (positivo ➕)

Reta Decrescente (a < 0)

Antes da raiz a função é positiva; depois da raiz é negativa:

• Se x < -b/a ⟹ f(x) > 0 (positivo ➕)
• Se x = -b/a ⟹ f(x) = 0 (raiz ⭕)
• Se x > -b/a ⟹ f(x) < 0 (negativo ➖)
Diagrama de Sinal no Eixo Real:
- - -
x = -b/a + + +
(Exemplo para função afim com a > 0)

✏️ Exercícios Práticos — Estudo do Sinal

Exercício 1: Dada a função f(x) = 2x - 6, para quais valores de x temos f(x) > 0 (valores estritamente positivos)?
Resolução: A raiz é 2x - 6 = 0 ⟹ x = 3. Como o coeficiente angular é positivo (a = 2 > 0), a função é crescente. Portanto, à direita da raiz (x > 3) a função assume valores positivos: f(x) > 0.
Exercício 2: Para a função decrescente f(x) = -4x + 20, para quais valores de x temos f(x) < 0 (valores estritamente negativos)?
Resolução: Raiz: -4x + 20 = 0 ⟹ 4x = 20 ⟹ x = 5. Como a = -4 < 0 (reta decrescente), os valores de y passam abaixo do eixo horizontal após a raiz, logo f(x) < 0 para x > 5.
Exercício 3: O estudo do sinal da função f(x) = -2x - 8 indica que f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0 respectivamente para:
Resolução: Raiz: -2x - 8 = 0 ⟹ -2x = 8 ⟹ x = -4. Como a = -2 < 0 (decrescente): à esquerda da raiz (x < -4) ela é positiva; na raiz (x = -4) é zero; e à direita da raiz (x > -4) ela é negativa.

🕹️ Explorador Interativo: Sliders de 'a' e 'b'

Arraste os seletores em tempo real e visualize a rotação e a translação da reta no plano cartesiano. O ponto linear (0, b) e a raiz (-b/a, 0) são marcados dinamicamente.

1.5
Inclinação / taxa de variação da reta.
-1.0
Deslocamento vertical (interseção com o eixo y).
Equação da Reta em Tempo Real:
f(x) = 1.5x - 1.0
Reta Crescente (a > 0) Corta y em: (0, -1.0) Raiz x: 0.67
🔴 Ponto (0, b) em azul • 🟡 Raiz (-b/a, 0) em amarelo • Grade (-8 a +8)

🌍 Problemas de Aplicação Real da Função Afim

Cinco situações cotidianas resolvidas passo a passo através da modelagem linear:

Aplicação 1 • Mobilidade Urbana

Corrida de Aplicativo de Transporte

Um aplicativo cobra uma taxa inicial fixa (bandeirada) de R$ 6,00 somada a R$ 2,50 por cada quilômetro percorrido. Qual é a lei da função que descreve o valor da viagem em relação aos km rodados e quanto custará uma viagem de 12 km?

Modelagem:
• Taxa variável (a): R$ 2,50/km | Custo fixo inicial (b): R$ 6,00
• Equação: V(x) = 2,50x + 6,00
• Para x = 12 km: V(12) = 2,50 · 12 + 6,00 = 30,00 + 6,00 = R$ 36,00.
Aplicação 2 • Telecomunicações

Plano de Celular com Internet Excedente

Uma operadora oferece assinatura mensal por R$ 45,00 com franquia padrão. Se o usuário ultrapassar a franquia, paga R$ 7,50 por cada GB excedente. Quanto pagará um estudante que usou 4 GB a mais no mês?

Modelagem:
• Taxa por GB adicional (a): R$ 7,50 | Mensalidade fixa (b): R$ 45,00
• Equação: C(x) = 7,50x + 45,00 (para x ≥ 0 GB extras)
• Para x = 4 GB: C(4) = 7,50 · 4 + 45,00 = 30,00 + 45,00 = R$ 75,00.
Aplicação 3 • Finanças & Vendas

Comissão e Salário de um Vendedor

Um consultor de vendas recebe um salário fixo de R$ 1.800,00 mais uma comissão de 5% (0,05) sobre o total de vendas realizadas no mês. Qual foi seu salário ao fechar o mês com R$ 40.000,00 em vendas?

Modelagem:
• Taxa de comissão (a): 0,05 | Salário fixo garantido (b): R$ 1.800,00
• Equação: S(v) = 0,05v + 1.800
• Para v = R$ 40.000,00: S(40.000) = 0,05 · 40.000 + 1.800 = 2.000 + 1.800 = R$ 3.800,00.
Aplicação 4 • Física / Hidráulica

Piscina Enchendo com Bomba de Água

Uma piscina já possui 2.000 litros de água no fundo. Ao ligar a mangueira de abastecimento, ela recebe água a uma taxa constante de 50 litros por minuto. Qual o volume após 40 minutos e quando atingirá a capacidade total de 6.000 litros?

Modelagem:
• Vazão constante (a): 50 L/min | Volume inicial (b): 2.000 L
• Equação: V(t) = 50t + 2.000
• Volume aos 40 minutos: V(40) = 50 · 40 + 2.000 = 2.000 + 2.000 = 4.000 litros.
• Para encher 6.000 L: 50t + 2.000 = 6.000 ⟹ 50t = 4.000 ⟹ t = 80 minutos (1h e 20min).
Aplicação 5 • Termologia & Culinária

Aquecimento Linear de um Forno

Ao ser ligado, um forno industrial parte da temperatura ambiente de 25 °C e aquece linearmente a uma taxa constante de 15 °C por minuto. Qual será a temperatura após 10 minutos e após quanto tempo ele atingirá a marca pré-aquecida de 220 °C?

Modelagem:
• Taxa térmica (a): 15 °C/min | Temperatura inicial (b): 25 °C
• Equação: T(t) = 15t + 25
• Em t = 10 min: T(10) = 15 · 10 + 25 = 150 + 25 = 175 °C.
• Para 220 °C: 15t + 25 = 220 ⟹ 15t = 195 ⟹ t = 195 / 15 = 13 minutos.

📐 Modelagem Real — Função Afim no Cotidiano

O Que é Modelagem Matemática?

Modelagem matemática é a arte de traduzir uma situação concreta da vida real em uma equação ou função. Na função afim f(x) = ax + b:

Coeficiente Angular (a): É a taxa constante de aumento (+) ou perda (-) por unidade de tempo, distância ou peça produzida.
Coeficiente Linear (b): É o estado inicial, custo fixo ou volume de partida quando x = 0.
Questão 1 de 10 (0 respondidas)
Acertos: 0 / 10
Conclusão da Trilha de Modelagem

Parabéns por concluir as 10 Questões de Modelagem!

Você aplicou os conceitos de taxa de variação e valor inicial a piscinas, depreciações, tarifas e sistemas combinados.

0 de 10 acertos

🏆 Quiz Interativo & Desafios de Vestibular

Teste seus conhecimentos com correção instantânea e acompanhe sua pontuação em tempo real.

Desempenho no Quiz:
Pontuação: 0 / 5 Acertos (0%)
Questão 1: Qual é a raiz da função afim f(x) = 4x - 20 e qual o ponto em que ela cruza o eixo x?
Resolução: Fazemos f(x) = 0 ⟹ 4x - 20 = 0 ⟹ 4x = 20 ⟹ x = 20 / 4 = 5. O corte com o eixo das abscissas é o ponto cartesiano (5, 0).
Questão 2: Dada a função f(x) = -3x + 12, qual a sua classificação e para quais valores de x ela assume valores estritamente positivos (f(x) > 0)?
Resolução: Como a = -3 < 0, a reta é decrescente. A raiz é -3x + 12 = 0 ⟹ x = 4. Como ela vem de cima para baixo, é positiva antes da raiz: x < 4.
Questão 3 (ENEM): Um tanque com 600 litros de água é esvaziado por um ralo a uma vazão constante de 30 litros por minuto. Em quanto tempo o reservatório estará totalmente seco?
Resolução: Volume V(t) = -30t + 600. Para esvaziar, V(t) = 0 ⟹ -30t + 600 = 0 ⟹ 30t = 600 ⟹ t = 600 / 30 = 20 minutos.
Questão 4: A reta de uma função afim passa pelos pontos A(1, 5) e B(3, 11). Qual é a lei dessa função?
Resolução: Coeficiente a = (11 - 5) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3. Substituindo o ponto A(1, 5): f(1) = 3(1) + b = 5 ⟹ b = 2. Portanto, f(x) = 3x + 2.
Questão 5: O ponto onde o gráfico de f(x) = -7x + 28 cruza o eixo das ordenadas (y) é:
Resolução: O corte no eixo y ocorre fazendo x = 0: f(0) = -7(0) + 28 = 28. Logo, o ponto é (0, b) = (0, 28). Atenção: (4, 0) é a raiz no eixo x!

📌 Resumo Esquematizado de Função Afim

Tudo o que você precisa guardar para provas, vestibulares e para o ENEM em uma página:

Forma Canônica

f(x) = ax + b
  • a = taxa de variação / declividade (a = Δy/Δx)
  • b = valor inicial fixo / corte em y: (0, b)
  • Gráfico é sempre uma reta

Classificação & Ângulo

  • a > 0: Crescente ↗️ (ângulo agudo)
  • a < 0: Decrescente ↘️ (ângulo obtuso)
  • a = 0: Constante ➡️ (reta horizontal)

Raiz e Cortes de Eixos

  • Corte no eixo x (Raiz): (-b/a, 0)
  • Corte no eixo y: (0, b)
  • Basta conhecer 2 pontos para traçar toda a reta!

💡 Dica de Ouro do Professor Walter:

Em problemas de enunciado longo no ENEM (custo de corrida, contas de água/luz, planos de celular e salários com comissão), procure imediatamente duas coisas: o valor que é cobrado uma única vez (b) e o valor cobrado por cada unidade consumida ou tempo decorrido (a). Montar a função é simplesmente escrever Total = a · x + b!